细胞图像处理

细胞分割方法分析

细胞分割方法的数学原理与实现

1. 颜色空间转换 (RGB → LAB)

首先将RGB图像转换为LAB颜色空间：

lab_image = color.rgb2lab(self.original_image)

RGB到LAB的数学转换过程：

步骤1: RGB到XYZ的转换

对于标准RGB(sRGB)空间，首先需要进行伽马校正，将非线性RGB转换为线性RGB：

$$R_{linear} = \begin{cases}
\frac{R_{sRGB}}{12.92}, & \text{if } R_{sRGB} \leq 0.04045 \
\left(\frac{R_{sRGB} + 0.055}{1.055}\right)^{2.4}, & \text{if } R_{sRGB} > 0.04045
\end{cases}$$

同理计算$G_{linear}$和$B_{linear}$。

然后使用标准转换矩阵将线性RGB转换为XYZ：

$$\begin{bmatrix} X \ Y \ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0.4124564 & 0.3575761 & 0.1804375 \
0.2126729 & 0.7151522 & 0.0721750 \
0.0193339 & 0.1191920 & 0.9503041
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_{linear} \ G_{linear} \ B_{linear} \end{bmatrix}$$

步骤2: XYZ到LAB的转换

使用D65白点参考值$(X_n, Y_n, Z_n) = (0.95047, 1.00000, 1.08883)$：

首先计算中间变量：

$$x = \frac{X}{X_n}, y = \frac{Y}{Y_n}, z = \frac{Z}{Z_n}$$

然后应用非线性变换：

$$f(t) = \begin{cases}
t^{\frac{1}{3}}, & \text{if } t > \left(\frac{6}{29}\right)^3 \
\frac{1}{3}\left(\frac{29}{6}\right)^2 t + \frac{4}{29}, & \text{if } t \leq \left(\frac{6}{29}\right)^3
\end{cases}$$

最后计算LAB值：

$$L = 116 \cdot f(y) - 16$$
$$a = 500 \cdot [f(x) - f(y)]$$
$$b = 200 \cdot [f(y) - f(z)]$$

其中L的范围是[0, 100]，a和b的范围通常是[-128, 127]。

2. 细胞核分割

提取LAB空间的通道：

l_channel = lab_image[:,:,0]  # 亮度通道
a_channel = lab_image[:,:,1]  # 从绿到红的通道

Otsu阈值法的数学原理：

Otsu方法通过最大化类间方差来寻找最佳阈值。对于灰度图像，假设像素值范围为[0, L-1]：

1. 计算图像的归一化直方图 $p_i = \frac{n_i}{N}$，其中$n_i$是灰度值为i的像素数，N是总像素数。

2. 对于每个可能的阈值t，计算两个类的概率：
   $$\omega_0(t) = \sum_{i=0}^{t} p_i$$
   $$\omega_1(t) = \sum_{i=t+1}^{L-1} p_i = 1 - \omega_0(t)$$

3. 计算两个类的均值：
   $$\mu_0(t) = \frac{\sum_{i=0}^{t} i \cdot p_i}{\omega_0(t)}$$
   $$\mu_1(t) = \frac{\sum_{i=t+1}^{L-1} i \cdot p_i}{\omega_1(t)}$$

4. 计算总体均值：
   $$\mu_T = \sum_{i=0}^{L-1} i \cdot p_i$$

5. 计算类间方差：
   $$\sigma_B^2(t) = \omega_0(t) \cdot \omega_1(t) \cdot [\mu_0(t) - \mu_1(t)]^2$$

6. 最佳阈值是使类间方差最大的阈值：
   $$t^* = \arg\max_{0 \leq t < L} {\sigma_B^2(t)}$$

在代码中的实现：

nuclei_thresh = filters.threshold_otsu(a_channel)
nuclei_mask = a_channel < nuclei_thresh

3. 形态学操作

小物体移除：

nuclei_mask = morphology.remove_small_objects(nuclei_mask, min_size=50)

这一步使用连通组件分析，移除面积小于50像素的连通区域。连通组件分析的数学表示为：

对于二值图像$I$，定义连通组件$C$为满足以下条件的像素集合：

• 对于任意$p, q \in C$，存在一条路径$p = p_0, p_1, …, p_n = q$，使得对于所有$0 \leq i < n$，$p_i$和$p_{i+1}$是相邻的，且$I(p_i) = I(p_{i+1}) = 1$
• 不存在$p \in C$和$q \notin C$使得$p$和$q$相邻且$I(q) = 1$

然后移除所有面积小于阈值的连通组件：
$$I’(p) = \begin{cases}
0, & \text{if } p \in C \text{ and } |C| < \text{min_size} \
I(p), & \text{otherwise}
\end{cases}$$

形态学闭运算：

nuclei_mask = morphology.binary_closing(nuclei_mask, morphology.disk(2))

闭运算是膨胀后接腐蚀的组合操作。对于二值图像$I$和结构元素$B$：

膨胀操作定义为：
$$I \oplus B = {z \in \mathbb{Z}^2 | (B_z \cap I) \neq \emptyset}$$
其中$B_z$是将$B$平移到点$z$的结果。

腐蚀操作定义为：
$$I \ominus B = {z \in \mathbb{Z}^2 | B_z \subseteq I}$$

闭运算则定义为：
$$I \bullet B = (I \oplus B) \ominus B$$

在这里，结构元素$B$是半径为2的圆盘，可以表示为：
$$B = {(x, y) \in \mathbb{Z}^2 | x^2 + y^2 \leq 4}$$

4. 细胞质分割

与细胞核分割类似，但使用b通道并取大于阈值的区域：

b_channel = lab_image[:,:,2]  # 从蓝到黄的通道
cytoplasm_thresh = filters.threshold_otsu(b_channel)
cytoplasm_mask = b_channel > cytoplasm_thresh

5. 细胞质掩码优化

cytoplasm_mask = morphology.remove_small_objects(cytoplasm_mask, min_size=100)
cytoplasm_mask = morphology.binary_closing(cytoplasm_mask, morphology.disk(3))

这里使用了更大的最小尺寸(100)和更大的结构元素(半径为3的圆盘)：
$$B_{cytoplasm} = {(x, y) \in \mathbb{Z}^2 | x^2 + y^2 \leq 9}$$

6. 整体细胞掩码创建

cell_mask = np.logical_or(nuclei_mask, cytoplasm_mask)
cell_mask = morphology.binary_closing(cell_mask, morphology.disk(5))

逻辑或运算的数学表示：
$$\text{cell_mask}(x, y) = \text{nuclei_mask}(x, y) \lor \text{cytoplasm_mask}(x, y)$$

其中$\lor$表示逻辑或操作。

最后的闭运算使用半径为5的圆盘结构元素：
$$B_{cell} = {(x, y) \in \mathbb{Z}^2 | x^2 + y^2 \leq 25}$$

这个更大的结构元素能够填充细胞内部的空洞，并平滑细胞边界，确保细胞的完整性和连续性。
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